She
「彼女」という人を指します。
is
be動詞で、「～です」という意味です。ここでは主語Sheと対応して「～です」となります。
proud
「誇りに思う」という意味です。ここではbe動詞と組み合わさり、「誇りに思っている」という状態を表します。
of
「～について」という前置詞です。何に対して誇りに思っているかを示します。
her
「彼女の」という意味です。ここでは後に続くcooking skillsを修飾しています。
cooking
「料理の」という意味です。ここでは後に続くskillsを修飾しています。
skills.
「スキル」という意味です。ここでは複数形なので、彼女の複数の料理スキルを指します。