Designing
「～を設計すること」という動名詞です。
a finite automaton
「一つの有限オートマトン」を指します。
involves
「～を伴う、～を含む」という意味の動詞です。
specifying
「～を特定すること、指定すること」という動名詞です。
its states
「その状態（複数）」を指し、オートマトンが取りうる状態の集合です。
alphabet
「アルファベット」を指し、オートマトンが読み取る入力シンボルの集合です。
transition function
「遷移関数」を指し、現在の状態と入力シンボルから次の状態を決定する規則です。
and initial and final states
「初期状態と最終状態」を指し、計算の開始点と終了条件を示します。