1.
液体や混合物などを濃くする、とろみをつける、または濃くなる、とろみがつく。
液体やクリームなどがより濃密になる、あるいはそのようにする行為を表します。料理でソースにとろみをつけたり、絵の具を濃くしたりする場合に使われます。
The
soup
will
thicken
as
it
cools.
(そのスープは冷めるにつれてとろみがつくだろう。)
The soup
そのスープ
will thicken
とろみがつくだろう（未来形）
as it cools
それが冷めるにつれて（時を表す接続詞句）
Add
cornstarch
to
thicken
the
gravy.
(グレービーにとろみをつけるにはコーンスターチを加えてください。)
Add
加える（命令形）
cornstarch
コーンスターチ
to thicken the gravy
そのグレービーにとろみをつけるために（目的を示す不定詞句）
2.
(空気、筋書きなどが) 濃くなる、複雑になる、緊迫感を増す。
物理的な厚みだけでなく、空気中の粒子が多くなる、物語の展開が複雑になる、緊張感が高まるなど、抽象的なものの密度や強度が増す場合にも使われます。
The
air
began
to
thicken
with
smoke.
(空気が煙で濃くなり始めた。)
The air
その空気
began to thicken
濃くなり始めた（begin + to不定詞）
with smoke
煙によって（原因や材料を示す with）
The
plot
thickens.
(物語が複雑になってきた。)
The plot
その筋書き、物語
thickens
複雑になる、面白くなる（三人称単数現在形）
Tensions
between
the
two
countries
began
to
thicken.
(両国間の緊張が高まり始めた。)
Tensions
緊張（複数形）
between the two countries
その二つの国の間で
began to thicken
高まり始めた（begin + to不定詞）