Choosing
「選ぶこと」という意味の動詞 choose の現在分詞形です。ここでは文の主語（動名詞）として使われています。
the
特定のものを指す定冠詞です。
right
「適切な」「正しい」という意味の形容詞です。
hair color
「髪の色」という意味の名詞句です。
is
be動詞の一つで、主語とそれについての情報をつなぎます。「〜です」「〜である」といった意味になります。
important
「重要な」という意味の形容詞です。
for
目的や対象を示す前置詞で、「〜にとって」という意味になります。
your
「あなたの」という意味の所有格です。
look
ここでは「外見」「見た目」という意味の名詞です。