They
「彼ら」や「彼女たち」など、複数の人を指します。
quarrelled
「口論する」や「けんかする」という意味の動詞の過去形です。
over
争いの対象を示す前置詞で、「~をめぐって」という意味です。
who
ここでは「誰が~か」という疑問詞として使われています。
should
「~すべきだ」という助動詞です。
do
「する」という意味の動詞です。
the
特定のものを指す定冠詞です。ここでは do the dishes で「皿洗いをする」という慣用的な表現の一部です。
dishes.
「皿」という意味の名詞 dish の複数形です。do the dishes で「皿洗いをする」という意味になります。