My
「私の」という一人称単数所有格の代名詞で、話し手が所有するものを指します。
mother
「母」という意味の名詞です。
is
「～である」という存在や状態を表すbe動詞で、主語が単数形（この場合はMy mother）なのでisを使います。
a
「1人の」という不定冠詞で、不特定の一人または一つを指します。
full-time
「常勤の、フルタイムの」という意味の形容詞句で、仕事の形態を示します。
carer
「世話をする人、介護者」という意味の名詞です。
for
「～のために」という意味の前置詞で、目的や対象を示します。
her
「彼女の」という三人称単数女性所有格の代名詞で、特定の女性が所有するものを指します。
elderly
「年配の、年老いた」という意味の形容詞で、対象の年齢を示します。
parents
「両親」という意味の名詞parentsの単数形です。