Product topology

/ˈprɑːdʌkt təˈpɑːlədʒi/ プロダクト トポロジー

1. 位相空間の積集合に定義される位相

積位相は、複数の位相空間を組み合わせた新しい空間に対して、個々の空間の性質を「自然な」形で引き継ぐように定義される位相です。この位相は、各成分への射影写像が連続となるような最も粗い（開集合が最も少ない）位相として特徴づけられます。これにより、直積空間上の連続写像の振る舞いを各成分の空間上の連続写像の観点から理解できるようになります。

The product topology is the coarsest topology on the Cartesian product for which all projection maps are continuous. (積位相は、すべての射影写像が連続となるような、直積空間上で最も粗い位相である。)

• The product topology: 数学における「積位相」という概念を指します。
• is: 〜である、という状態を表す動詞です。
• the coarsest topology: 位相の中で「最も粗い」ものを指します。粗い位相とは、開集合が少ない位相のことです。
• on the Cartesian product: 直積集合の上に、という意味です。
• for which: それに対して、という意味で、関係代名詞の働きをします。
• all projection maps: すべての射影写像を指します。射影写像とは、直積空間から各成分空間への写像です。
• are continuous: 連続である、という状態を表します。

A fundamental property of the product topology is that a function into the product space is continuous if and only if each of its component functions is continuous. (積位相の基本的な性質は、積空間への関数が連続であることと、その各成分関数が連続であることとが同値であるという点である。)

• A fundamental property: 根源的な、または基本的な性質を指します。
• of the product topology: 積位相の、という意味です。
• is that: 〜という点である、という構造を導きます。
• a function: ある関数を指します。
• into the product space: 積空間への、という意味です。
• is continuous: 連続である、という状態を表します。
• if and only if: 〜である場合に限り、つまり「〜であることと同値である」という意味の数学用語です。
• each of its component functions: その各成分関数を指します。
• is continuous: 連続である、という状態を表します。

The product topology on R^n is the usual Euclidean topology. (R^n 上の積位相は、通常のユークリッド位相である。)

• The product topology: 数学における「積位相」という概念を指します。
• on R^n: n次元ユークリッド空間 R^n の上に、という意味です。
• is: 〜である、という状態を表す動詞です。
• the usual Euclidean topology: 通常のユークリッド位相を指します。

関連

• Topological space
• Cartesian product
• Quotient topology
• Subspace topology
• Box topology
• Continuous function
• Projection map