Normed space

[ˈnɔːrmd speɪs] ノームド スペース

1. ノルムと呼ばれる距離の概念が導入されたベクトル空間。

ベクトル間の「大きさ」や「距離」を測るための「ノルム」という関数が定義されたベクトル空間です。これにより、空間内の要素がどれくらいの「長さ」を持つか、あるいは要素間の「離れ具合」を具体的に数値で表現できます。関数解析学や数値解析学において基本的な概念です。

A normed space is a vector space where every vector has a length or size, called a norm. (ノルム空間とは、すべてのベクトルがノルムと呼ばれる長さや大きさを持つベクトル空間のことです。)

• A normed space: ノルムが定義された空間を指します。
• is: ～である、という状態を表します。
• a vector space: ベクトルが定義された空間を指します。
• where: ～である場所、という条件を示します。
• every vector: 全てのベクトルを指します。
• has: ～を持っている、という所有や属性を表します。
• a length or size: 長さまたは大きさを指します。
• called a norm: ノルムと呼ばれるものを指します。

In a normed space, the distance between two vectors can be defined using the norm. (ノルム空間では、2つのベクトル間の距離はノルムを使って定義できます。)

• In a normed space: ノルム空間内において、という場所や状況を示します。
• the distance: 距離を指します。
• between two vectors: 2つのベクトルの間の関係を示します。
• can be defined: 定義されうる、という可能性や受動態を表します。
• using the norm: ノルムを用いることによって、という手段や方法を示します。

Banach spaces are complete normed spaces, which are essential in functional analysis. (バナッハ空間は完備なノルム空間であり、関数解析学において不可欠です。)

• Banach spaces: バナッハ空間という特定の種類の空間を指します。
• are: ～である、という状態や同一性を表します。
• complete: 完備な、という性質を表します。
• normed spaces: ノルムが定義された空間を指します。
• which are: それらは～である、という関係代名詞とbe動詞の組み合わせです。
• essential: 不可欠な、という重要性を示します。
• in functional analysis: 関数解析学の分野において、という場所や範囲を示します。

関連

• vector space
• norm
• Banach space
• metric space
• inner product space