Gödel's incompleteness theorems

/ˈɡɜːdəl ˌɪnkəmˈpliːtnəs ˈθiːərəmz/ ゲーデルズ インコンプリートネス スィアラムズ

1. 形式的な公理系において、その系内では証明も反証もできない命題が存在することを示す、クルト・ゲーデルによる二つの定理。

数学や論理学の形式的な公理系には、その系の中では真偽を決定できない命題が存在することを示した、クルト・ゲーデルによる二つの定理を指します。これにより、全ての数学的真理を単一の公理系から導き出せるという当時の信念に、決定的な打撃を与えました。第一不完全性定理は、算術を含む無矛盾な形式的公理系には、その系内で証明も反証もできない命題が存在することを示し、第二不完全性定理は、そのような系自身の無矛盾性を、その系自身の中では証明できないことを示します。

Gödel's incompleteness theorems demonstrated fundamental limitations of formal axiomatic systems. (ゲーデルの不完全性定理は、形式的な公理系の根本的な限界を示した。)

• Gödel's incompleteness theorems: クルト・ゲーデルが提唱した、形式的システムにおける未解決の命題の存在を示す定理群を指します。
• demonstrated: 「〜を実証した」「〜を示した」という意味の動詞です。
• fundamental limitations: 「根本的な限界」という意味です。
• of: 「〜の」という所有や関連を表す前置詞です。
• formal axiomatic systems: 「形式的な公理系」を意味します。

Understanding Gödel's incompleteness theorems is crucial for advanced studies in logic. (ゲーデルの不完全性定理を理解することは、論理学の高度な研究にとって非常に重要です。)

• Understanding: 「理解すること」という動名詞です。
• Gödel's incompleteness theorems: ゲーデルの不完全性定理を指します。
• is crucial: 「不可欠である」「非常に重要である」という意味です。
• for: 「〜にとって」「〜のために」という意味の前置詞です。
• advanced studies: 「高度な研究」を意味します。
• in logic: 「論理学において」という意味です。

The impact of Gödel's incompleteness theorems extended beyond mathematics, influencing philosophy and computer science. (ゲーデルの不完全性定理の影響は数学を超え、哲学や計算機科学にも及んだ。)

• The impact: 「影響」という意味です。
• of: 「〜の」という意味の前置詞です。
• Gödel's incompleteness theorems: ゲーデルの不完全性定理を指します。
• extended: 「〜に及んだ」「〜を広げた」という意味の動詞です。
• beyond mathematics: 「数学を超えて」という意味です。
• influencing: 「〜に影響を与えながら」という分詞構文です。
• philosophy: 「哲学」を意味します。
• and: 「と」「そして」という接続詞です。
• computer science: 「計算機科学」「コンピュータ科学」を意味します。

関連

• Formal system
• Axiomatic system
• Kurt Gödel
• Logic
• Metamathematics
• Turing machine
• Halting problem
• Undecidability