1.
相手の厚意に対して、深く感謝していることを伝える表現。
相手の厚意や親切に対して、心からの感謝の気持ちを伝える際に用いられる表現です。やや古風で丁寧な響きがあります。
Much
obliged
for
your
help.
(助けていただいて大変感謝しています。)
Much obliged
「大変感謝しています」という意味の慣用句です。
for
前置詞で、理由や目的を示します。「～に対して」「～のために」といった意味です。
your help
「あなたの助け」という意味です。
Much
obliged
for
your
prompt
reply.
(早速のご返信、大変感謝しております。)
Much obliged
「大変感謝しています」という意味の慣用句です。
for
前置詞で、理由や目的を示します。「～に対して」「～のために」といった意味です。
your prompt reply
「あなたの迅速な返信」という意味です。
I'm
much
obliged
to
you.
(あなたには大変感謝しています。)
I'm
"I am"の短縮形で、「私は～です」という意味です。
much obliged
ここでは"be obliged"の形で使われ、「感謝している」「恩義を受けている」という意味になります。
to
前置詞で、ここでは感謝や恩義の対象を示します。「～に」という意味です。
you
「あなた」という相手を指します。
2.
相手からの依頼や指示に対して、承諾や従う意思を示す際に用いられることがある。
感謝の意を示すのが本来の使い方ですが、特に古い作品や特定の文脈では、相手からの命令や指示、求めに応じる際に、「恐縮ですが」「かしこまりました」「従います」といったニュアンスで使われることがあります。これは、相手の立場への敬意や、その要求に応じることへの感謝（または義務感）を含んでいるためです。
Very
much
obliged,
sir.
(かしこまりました、旦那様。)
Very much obliged
「大変恐縮ですが」「かしこまりました」といったニュアンスで使われることがあります。
Much
obliged
to
be
of
service.
(お役に立てて光栄です（命令に従う意を含んで）。)
Much obliged
「大変感謝しています」という意味ですが、文脈によっては「分かりました」「従います」の意で使われます。
to
前置詞で、ここでは従う相手を示します。「～に」という意味です。
be of service
「お役に立つ」「奉仕する」という意味の慣用句です。
Much
obliged
for
the
order.
(命令、かしこまりました。)
Much obliged
「大変感謝しています」という意味ですが、文脈によっては「分かりました」「従います」の意で使われます。
for
前置詞で、ここでは命令や指示の対象を示唆することがあります。
the order
「命令」「指示」という意味です。