Modular form

/ˈmɒdjʊlər fɔːrm/ モジュラーフォーム

1. 数学において、複素上半平面上で定義され、特定の種類の群作用（モジュラー群）に対して関数方程式と成長条件を満たす、高度に対称な解析関数。

モジュラー形式は、数学の特に数論や代数幾何学において中心的な役割を果たす関数です。非常に高い対称性を持つため、フェルマーの最終定理の証明など、数々の深い数学的問題の解決に寄与してきました。特定の変換規則に従い、複素数の世界で定義されます。

Modular forms are central objects of study in number theory. (モジュラー形式は数論における研究の中心的な対象です。)

• Modular forms: モジュラー形式。数論における特別な関数を指します。
• are: ～である、という状態を表す動詞です。
• central objects: 中心的な対象。主要な要素や主題を意味します。
• of study: 研究の。研究の対象であることを示します。
• in number theory: 数論において。数論という数学の分野を指します。

The theory of modular forms has deep connections to other areas of mathematics. (モジュラー形式の理論は、数学の他の分野と深い繋がりがあります。)

• The theory: その理論。ここではモジュラー形式に関する学術的な研究体系を指します。
• of modular forms: モジュラー形式の。何の理論であるかを特定します。
• has: 持っている。ここでは「繋がりがある」という意味で使われます。
• deep connections: 深い繋がり。単なる関係性以上の、本質的で重要な関連性を意味します。
• to other areas: 他の分野へ。関連する他の領域を示します。
• of mathematics: 数学の。数学という学問全体を指します。

Wiles' proof of Fermat's Last Theorem utilized the theory of modular forms. (ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明は、モジュラー形式の理論を利用しました。)

• Wiles' proof: ワイルズの証明。数学者アンドリュー・ワイルズによる証明を指します。
• of Fermat's Last Theorem: フェルマーの最終定理の。何の証明であるかを特定します。
• utilized: ～を利用した、活用した。動詞useの過去形です。
• the theory: その理論。ここではモジュラー形式の理論を指します。
• of modular forms: モジュラー形式の。何の理論であるかを特定します。

関連

• Automorphic form
• Elliptic curve
• Number theory
• Algebraic geometry
• Riemann surface
• Cusp form