1.
～の翌日、次の日
特定の出来事や日付のすぐ後の日を指します。「the day after + 特定の日/イベント」の形でよく使われます。
2.
明後日、その翌日
何も指定せずに単に「the day after」と言う場合、文脈によって「明後日」（今日の次の次の日）を指したり、文脈で示される特定の日付や出来事の「その翌日」を指したりします。
We
arrived
on
Monday
and
left
the
day
after.
(私たちは月曜日に到着して、その翌日（火曜日）に出発しました。)
We
私たちは
arrived
到着した
on
～に
Monday
月曜日
and
そして
left
出発した
the
その
day after
翌日（火曜日）