The proton gradient
「プロトン勾配」を指します。プロトン（水素イオン）の濃度差が膜を挟んで存在することです。
across
「～を横切って」「～を貫いて」という意味です。
the inner mitochondrial membrane
「ミトコンドリアの内膜」を指します。ミトコンドリアの内側にある膜です。
drives
「～を駆動する」「～を推進する」という意味です。
ATP synthesis
「ATP合成」を指します。生体内でエネルギーを貯蔵する分子であるアデノシン三リン酸が作られる過程です。